共青团首都经济贸易大学委员会

谈到斐波那契数列，大家肯定一点也不陌生，这个由兔子繁殖得来的神奇数列自发现以来一直是人们研究的重中之重，不仅是数学领域，生物学，经济学等都和这个数列有着一定的联系。但是大多数人对这个数列只是略懂皮毛，并没有真正的去研究这个数列，下面，我将从此数列的三个方面，通项公式，与黄金分割的联系和应用来介绍一下斐波那契数列。

0,1,1,2,3,5……从第三项开始，每一项都是前两项之和，这个递推规律看似非常简单，但是他通项的求解与证明却是比较复杂的。通常的方法有三种，一是利用线性代数，二是利用待定系数法，三是利用数学归纳法。比较起来，个人认为第三种方法相对简单，但前提是得先知道数列的通项，此方法只能证明数列而不能求出数列通项，存在一定的局限性。由于第一种方法需要用到线性代数，本文不做讲解，下面重点讲解第二种方法：已知a1=1,a2=1,an=a(n-1)+a(n-2)(n>=3），设an-αa(n-1)=β（a(n-1)-αa(n-2））。

得α+β=1。αβ=-1。

构造方程x^2-x-1=0，解得α=(1-√5)/2，β=(1+√5)/2或α=(1+√5)/2，β=(1-√5)/2。

所以。an-(1-√5)/2*a(n-1)=(1+√5)/2*(a(n-1)-(1-√5)/2*a(n-2))=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1)`````````1。

an-(1+√5)/2*a(n-1)=(1-√5)/2*(a(n-1)-(1+√5)/2*a(n-2))=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2-(1+√5)/2*a1)`````````2。

由式1，式2，可得。

an=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1)``````````````3。

an=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2-(1+√5)/2*a1)``````````````4。

将式3*(1+√5)/2-式4*(1-√5)/2，化简得an=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}这就是待定系数法的求解过程。

斐波那契数列中的斐波那契数会经常出现在我们的眼前——比如松果、凤梨、树叶的排列、某些花朵的花瓣数（典型的有向日葵花瓣），蜂巢，蜻蜓翅膀，超越数e（可以推出更多），黄金矩形、黄金分割、等角螺线，十二平均律等。只要你留心，就会发现斐波那切数列的美。

有趣的是，这样一个完全是自然数的数列，通项公式却是用无理数来表达的。而且当n趋向于无穷大时，前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割0.618（或者说后一项与前一项的比值小数部分越来越逼近0.618）。

1÷1=1，1÷2=0.5，2÷3=0.666...，3÷5=0.6，5÷8=0.625…………，55÷89=0.617977……………144÷233=0.618025…46368÷75025=0.6180339886…...

越到后面，这些比值越接近黄金比。看似不可思议，但斐波那契数列就是这么神奇。

斐波那契数列无处不在，只要留心，你就会发现他的踪迹。

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